LONGITUD DE ARCO

 Aprendizaje

En esta clase el profesor nos enseño un nuevo tema, en el cual interactuamos con ejemplos y ejercicios para poder comprender mejor, es un poco complicado pero estudiando duro podre comprender mejor el tema

 

¿Qué es la longitud de arco?

Usualmente medimos la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen longitud. Un ejemplo familiar es la circunferencia de un círculo de radio $$, cuya longitud es $\mathrm{}$. En general, le llamamos a la longitud de una curva "longitud de arco".

En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para encontrar la longitud de arco de una curva. Podemos pensar en la longitud de arco como la distancia que recorreríamos si camináramos por la trayectoria de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud de arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, querremos saber qué distancia recorre el cohete. O si una curva en un mapa representa una carretera, desearíamos saber qué distancia tenemos que recorrer para llegar a nuestro destino.

Comenzamos calculando la longitud de arco de las curvas definidas como funciones de x,$𝑥,$ luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de y.$𝑦.$ (El proceso es idéntico, invirtiendo los roles de x$𝑥$ como y$𝑦$). Las técnicas que utilizamos para hallar la longitud de arco pueden ampliarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto.

Longitud de arco de la curva y = f(x)

En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función f(x)$𝑓(𝑥)$ fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para f(x).$𝑓(𝑥).$ En este caso, necesitamos que f(x)$𝑓(𝑥)$ sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, f′(x),${𝑓}^{\prime }(𝑥),$ sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves. (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores).

Supongamos que f(x)$𝑓(𝑥)$ es una función suave definida sobre [a,b].$\left[𝑎,𝑏\right].$ Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto (a,f(a))$\left(𝑎,𝑓(𝑎)\right)$ al punto (b,f(b)).$\left(𝑏,𝑓(𝑏)\right).$ Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la longitud de la curva. Para i=0,1,2,…,n,$𝑖=0,1,2\text{,…},𝑛,$ supongamos que P={xi}$𝑃=\left\{{𝑥}_{𝑖}\right\}$ es una partición regular de [a,b].$\left[𝑎,𝑏\right].$ Luego, para i=1,2,…,n,$𝑖=1,2\text{,…},𝑛,$ construya un segmento lineal desde el punto (xi−1,f(xi−1))$\left({𝑥}_{𝑖-1},𝑓({𝑥}_{𝑖-1})\right)$ al punto (xi,f(xi)).$\left({𝑥}_{𝑖},𝑓({𝑥}_{𝑖})\right).$ Aunque podría parecer lógico utilizar segmentos de línea horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de línea que se aproximen a la curva lo más posible.

(No me permite insertar la imagen pero comparto el link directo)

https://openstax.org/apps/archive/20240506.185246/resources/23ba8abdcdf60f53e7f2c67b158de0d31fdfc5c7

Para ayudarnos a encontrar la longitud de cada segmento de línea, debemos observar el cambio en la distancia vertical así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como utilizamos una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por Δx.$\text{Δ}𝑥.$ Sin embargo, el cambio en la distancia vertical varía de un intervalo a otro, por lo que utilizamos Δyi=f(xi)−f(xi−1)$\text{Δ}{𝑦}_{𝑖}=𝑓({𝑥}_{𝑖})-𝑓({𝑥}_{𝑖-1})$ para representar el cambio de la distancia vertical en el intervalo [xi−1,xi],$\left[{𝑥}_{𝑖-1},{𝑥}_{𝑖}\right],$ como se muestra en la figura (imagen)

Tenga en cuenta que algunos (o todos) Δyi$\text{Δ}{𝑦}_{𝑖}$ pueden ser negativos.

https://openstax.org/apps/archive/20240506.185246/resources/69c06ea19e9c7d18e50d6ce97112b3eaac9c7eff

Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de línea es (Δx)2+(Δyi)2−−−−−−−−−−−−√.$\sqrt{{\left(\text{Δ}𝑥\right)}^2+{\left(\text{Δ}{𝑦}_{𝑖}\right)}^2}.$ También podemos escribirlo como Δx1+((Δyi)/(Δx))2−−−−−−−−−−−−−−−√.$\text{Δ}𝑥\sqrt{1+{\left(\left(\text{Δ}{𝑦}_{𝑖}\right)\text{/}\left(\text{Δ}𝑥\right)\right)}^2}.$ Ahora, según el teorema del valor medio, hay un punto x∗i∈[xi−1,xi]${𝑥}_{𝑖}^{*}\in \left[{𝑥}_{𝑖-1},{𝑥}_{𝑖}\right]$ de manera que f′(x∗i)=(Δyi)/(Δx).${𝑓}^{\prime }({𝑥}_{𝑖}^{*})=\left(\text{Δ}{𝑦}_{𝑖}\right)\text{/}\left(\text{Δ}𝑥\right).$ Entonces la longitud del segmento de línea viene dada por Δx1+[f′(x∗i)]2−−−−−−−−−−√.$\text{Δ}𝑥\sqrt{1+{\left[{𝑓}^{\prime }({𝑥}_{𝑖}^{*})\right]}^2}.$ Sumando las longitudes de todos los segmentos de la línea, obtenemos

Longitud de arco≈∑i=1n1+[f′(x∗i)]2−−−−−−−−−−√Δx.

Fuente:

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length

https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/6-4-longitud-del-arco-de-una-curva-y-superficie