Derivadas Trigonométricas

Derivadas Trigonométricas

En la clase del día 09/03/2024 aprendimos las reglas de derivadas trigonométricas.

A continuación, dejare algunos ejemplos incluyendo un pequeño video referentes al tema:

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\cos (�)}$

Derivada de la función coseno[editar]

Dada la función ${\displaystyle �(�)=\cos (�)=\mathrm{sen}(�+\frac{�}{2})}$ es inmediato que:

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=-\mathrm{sen}(�)}$

Derivada de la función tangente[editar]

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, ${\displaystyle �(�)}$,

${\displaystyle �(�)=\frac{�(�)}{ℎ(�)}}$

y ${\displaystyle ℎ(�)\ne 0}$, entonces la regla dice que la derivada de ${\displaystyle �(�)/ℎ(�)}$ es igual a:

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�)={�}^{\prime }(�)=\frac{{�}^{\prime }(�)ℎ(�)-�(�){ℎ}^{\prime }(�)}{[ℎ(�){]}^2}}$

A partir de la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan (�)=\frac{���(�)}{\cos (�)}+}$

haciendo:

${\displaystyle �(�)=\mathrm{sen}(�)}$

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\cos (�)}$

${\displaystyle ℎ(�)=\cos (�)}$

${\displaystyle {ℎ}^{\prime }(�)=-\mathrm{sen}(�)}$

sustituyendo resulta

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{\cos (�)\cos (�)-\mathrm{sen}(�)[-\mathrm{sen}(�)]}{{\cos }^2(�)}}$

operando

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)=\frac{{\cos }^2(�)+{\mathrm{sen}}^2(�)}{{\cos }^2(�)}}$

y aplicando las identidades trigonométricas

${\displaystyle {\cos }^2(�)+{\mathrm{sen}}^2(�)=1}$

${\displaystyle {\sec }^2(�)=\frac{1}{��{�}^2(�)}}$

resulta:

${\displaystyle {�}^{\prime }(�)={\sec }^2(�)}$

Derivada de la función arcoseno[editar]

Tenemos una función ${\displaystyle �=�������}$, que también se puede expresar como ${\displaystyle \mathrm{sen}�=�}$. Derivando implícitamente la segunda expresión:

${\displaystyle \cos �\cdot \frac{��}{��}=1}$

${\displaystyle \frac{��}{��}=\frac{1}{\cos �}}$

Tenemos además que ${\displaystyle \cos �=\sqrt{1-{\mathrm{sen}}^2�}}$, y que ${\displaystyle �=\mathrm{sen}�}$. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

${\displaystyle \frac{�}{��}�������=\frac{1}{\sqrt{1-{�}^2}}}$

Ejemplo #1[editar]

${\displaystyle �=���(�)���(�)}$

${\displaystyle {�}^{\prime }=(-���(�)��{�}^2(�))-���(�)���(�)���(�)}$

${\displaystyle {�}^{\prime }=-���(�)��{�}^2(�)-��{�}^2(�)���(�)}$

${\displaystyle {�}^{\prime }=-��{�}^3(�)-��{�}^2(�)���(�)}$

Ejemplo #2[editar]

${\displaystyle �=3���(�)-2���(�)}$

${\displaystyle {�}^{\prime }=3\frac{�����}{��}-2\frac{�����}{��}}$

${\displaystyle {�}^{\prime }=3���(�)+2���(�)}$

Ejercicios realizados en clase: