UNIDAD III Derivadas, Exponentes y Logarítmicas

marzo 31, 2024

Derivadas, Exponenciales y Logarítmicas

En la clase del día sábado 23 de marzo, continuamos mirando derivadas, agregando Exponentes y Logarítmicas

Objetivos de aprendizaje:

Calcular la derivada de las funciones exponenciales.
Calcular la derivada de las funciones logarítmicas.
Utilizar la diferenciación logarítmica para determinar la derivada de una función.

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Como ya comentamos en Introducción a funciones y gráficos, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y el decaimiento de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son especialmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Derivadas: En cálculo, la derivada de una función es una medida de cómo cambia el valor de la función en respuesta a cambios en sus variables independientes. Geométricamente, representa la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto dado. La derivada de una función f(x) se denota comúnmente como f'(x) o dy/dx, y se define como el límite del cociente incremental de f(x) cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero.
Funciones Exponenciales: Una función exponencial es una función matemática de la forma
$� (�) = �^{�}$ , donde $�$ es una constante positiva y $�$ es la variable independiente. La base $�$ es un número real positivo diferente de 1. Cuando la base es mayor que 1, la función exponencial crece rápidamente a medida que $�$ aumenta, y cuando la base es menor que 1 pero mayor que 0, la función exponencial disminuye rápidamente a medida que $�$ aumenta.
Estas funciones tienen propiedades importantes, como la propiedad de la suma de exponentes ( $�^{� + �} = �^{�} * �^{�}$ ), la propiedad del producto de exponentes ( $(�^{�})^{�} = �^{� �}$ ), y la propiedad del cociente de exponentes ( $�^{� / �} = \sqrt[�]{�^{�}}$ ), entre otras.
Las funciones exponenciales tienen aplicaciones en diversas áreas, como el crecimiento y decaimiento exponencial en la modelización de fenómenos naturales, la resolución de ecuaciones diferenciales, la teoría de la probabilidad y la estadística, y en la criptografía, entre otros campos.
Logaritmos: Los logaritmos son la inversa de las potencias o exponentes. En otras palabras, el logaritmo de un número en una cierta base es el exponente al que se debe elevar la base para obtener ese número. Formalmente, si b^x = y, entonces el logaritmo en base b de y (escrito como log_b(y)) es igual a x. Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones exponenciales y para manipular grandes números o números muy pequeños de manera más manejable.
Estos conceptos son fundamentales en matemáticas y tienen una amplia gama de aplicaciones en diversas áreas, como física, ingeniería, economía y ciencias de la computación, entre otras.
1. Ejemplo de Derivadas:
  - Sea $� (�) = 3 �^{2} + 2 � + 1$ . Para encontrar la derivada de esta función con respecto a $�$ , denotada como $�^{'} (�)$ o $\frac{� �}{� �}$ , aplicamos las reglas de derivación. La derivada de $� (�)$ sería $�^{'} (�) = 6 � + 2$ . Esto nos indica la tasa de cambio instantáneo de la función $� (�)$ en cualquier punto $�$ .
2. Ejemplo de Funciones Exponenciales:
  - Considera la función exponencial $� (�) = �^{�}$ , donde $�$ es la base del logaritmo natural. Para evaluar $� (�)$ en un punto específico, como $� = 1$ , simplemente sustituimos $�$ en la función, lo que da como resultado $� (1) = �^{1} = �$ . Esta función exponencial es especial porque su derivada es igual a sí misma, es decir, $\frac{�}{� �} (�^{�}) = �^{�}$ .
3. Ejemplo de Funciones Logarítmicas:
  - Tomemos la función logarítmica $� (�) = \ln (�)$ , que es el logaritmo natural de $�$ . La derivada de esta función con respecto a $�$ , $�^{'} (�)$ o $\frac{�}{� �} (\ln (�))$ , es igual a $\frac{1}{�}$ . Por ejemplo, si evaluamos la derivada en $� = 2$ , obtenemos $�^{'} (2) = \frac{1}{2}$ . Esto significa que la pendiente de la tangente a la curva de $\ln (�)$ en $� = 2$ es $\frac{1}{2}$ .
Estos ejemplos ilustran cómo las derivadas, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas están interrelacionadas y se utilizan para describir y analizar una amplia variedad de fenómenos en matemáticas y ciencias aplicadas.
Enseguida dejo 3 videos referente al tema:
3.9 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas - Cálculo volumen 1 | OpenStax