Cálculos de volúmenes de solidos en resolución: métodos de discos

 En esta ocasión el profesor nos mostro un nuevo tema, en el cual utilizo varios ejemplos para poder comprender mejor el tema.

También nos mostro un poco de teoría escrita para poder resolver los ejercicios en clase, en lo personal el tema esta interesante aun que un poco complicado ya que se me dificulta la materia, pero estudiando y mirando videos será un poco mas fácil de comprender.

ejemplo:

Para calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de los discos, se sigue un proceso en el cual se imagina el sólido como una serie de discos infinitesimales apilados. El volumen de cada disco individual se suma para obtener el volumen total del sólido. Aquí hay una guía paso a paso para resolver problemas de este tipo:


  • Definir la función y el intervalo: Supongamos que se tiene una función y=f(x)y = f(x) que se va a rotar alrededor del eje xx desde x=ax = a hasta x=bx = b.

  • Área del disco: Cada disco tiene un radio igual al valor de la función en un punto específico, r=f(x)r = f(x). El área de un disco es entonces A=πr2=π[f(x)]2A = \pi r^2 = \pi [f(x)]^2.

  • Volumen de un disco: El volumen de un disco infinitesimal con un grosor dxdx es dV=A⋅dx=π[f(x)]2dxdV = A \cdot dx = \pi [f(x)]^2 dx.

  • Integración: Para encontrar el volumen total del sólido de revolución, se integra el volumen de los discos desde x=ax = a hasta x=bx = b:

  • Ejemplo

    Vamos a calcular el volumen del sólido obtenido al rotar la curva y=xy = \sqrt{x} alrededor del eje xx desde x=0x = 0 hasta x=4x = 4.

    1. Función y intervalo:

      • f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
      • Intervalo: xx desde 0 hasta 4

    2. Área del disco:

      • Radio r=xr = \sqrt{x}
      • Área A=π(x)2=πxA = \pi (\sqrt{x})^2 = \pi x

    3. Volumen de un disco:

      • Volumen dV=πx dxdV = \pi x \, dx

    4. Integración:

      V=∫04πx dxV = \int_{0}^{4} \pi x \, dx

  • Vamos a resolver esta integral:

    V=π∫04x dxV = \pi \int_{0}^{4} x \, dx

    La integral de xx es x22\frac{x^2}{2}:

    V=π[x22]04V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}

    Evaluamos en los límites:

    V=π(422−022)V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) V=π(162)V = \pi \left( \frac{16}{2} \right) V=π×8V = \pi \times 8 V=8πV = 8\pi

    • Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es 8π8\pi unidades cúbicas.


    videos sobre el tema:





    https://flexbooks.ck12.org/cbook/c%C3%A1lculo-2.0/section/6.3/primary/lesson/s%C3%B3lidos-de-revoluci%C3%B3n%3A-vol%C3%BAmenes-por-discos-calc-spn/


    http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_VI_12/Applets_Geogebra/volusolirevo.html

    PD: No pude adjuntar imágenes, el archivo no lo permitió tanto de fotos como de Google

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